Instrumentación: filtros activos

Ésto es una ampliación de los filtros que se vieron en el temario de Analógica: sistema.

Como se supone, los filtros sirven para atenuar unas frecuencias, dejando pasar o amplificando las que nos interesan. Los filtros pasivos se componen simplemente de una resistencia y un condensador. Para hacer un filtro activo, utilizamos también un amplificador operacional.

Filtros de primer orden

Los filtros pasivos son un ejemplo de filtro de primer orden, el orden de un filtro se puede distinguir por la pendiente antes o a partir de la frecuencia de corte. Un filtro de primer orden tiene una pendiente de \pm20 decibelios por década (dB/déc).

Vamos a ver los distintos circuitos que nos dan los filtros activos del mismo tipo.

Filtro paso bajo

filtropb

Éste filtro deja pasar las frecuencias más bajas con una ganancia, y al llegar a cierta frecuencia, la ganancia empieza a disminuir.

Su función de transferencia es:

\displaystyle \frac{V_{0} }{V_{i}} = -\frac{R}{R_{1}}\frac{1}{1+j\omega RC}

Donde podemos distinguir dos partes: la ganancia estática de las frecuencias más bajas -\frac{R}{R_{1}} y el factor de atenuación según la frecuencia en la que se encuentre.

La frecuencia a la que empieza a disminuir, llamada frecuencia de corte, se trata de la frecuencia en la que el factor de atenuación dependiente de la frecuencia deja de ser despreciable. Exactamente, se considera justo la frecuencia de corte cuando se da una ganancia de -3 dB respecto a la ganancia estática. A partir de ahí, la ganancia tiene una pendiente de -20 dB/déc.

Ésta frecuencia es exactamente... \displaystyle \omega_{0} = \frac{1}{RC}

Podemos dibujar la función de transferencia según la frecuencia en un diagrama de Bode, donde podemos ver cómo evoluciona la ganancia y la fase de la señal (que se verá desfasada al paso por el filtro):

bode2

Filtro paso alto

De la misma forma pero al contrario, podemos encontrar un filtro que atenúa las frecuencias bajas, según aumenta la frecuencia, la ganancia va aumentando con una pendiente de +20 dB/déc. Una vez llegada a la frecuencia de corte, se establece una ganancia estática.

filtropa

\displaystyle \frac{V_{0}}{V_{i}} = -\frac{R_{1}}{R} \frac{j\omega RC}{1+j\omega RC}      \displaystyle \omega_{0} = \frac{1}{RC}

bode3

Una curiosidad de éste filtro es que elimina la continua totalmente (que no es capaz de atravesar el condensador), por lo que podemos usarlo para quitar el offset a una señal.

Filtros de segundo orden

Los filtros de segundo orden son los que tienen pendientes de \pm40 dB/déc. Tienen en la función de transferencia un término elevado al cuadrado.

El denominador de éstos filtros es común a todos ellos, tienen ésta forma:

\displaystyle 1+2aj\frac{\omega}{\omega_{0}}+\left (j\frac{\omega}{\omega_{0}} \right )^{2}

Donde "a" es el factor de amortiguamiento, que determinará el factor de calidad y a su vez el pico de ganancia que se produce a la frecuencia de corte.

segundo2

Si queremos que el filtro de segundo orden tenga una ganancia de -3 dB en la frecuencia de corte, debe ser tipo Butterworth, que significa simplemente que a = 0.7072

Vamos a ver las estructuras básicas:

Sallen-Key paso bajo

sallenpb

Contiene 2 condensadores y 2 resistencias iguales que marcan la frecuencia de corte, y además no afectan a la ganancia estática, que en éste caso hemos llamado K, que sí afecta al factor de amortiguamiento:

\displaystyle \omega_{0} = \frac{1}{RC}       \displaystyle a = \frac{3-K}{2}        \displaystyle K = 1+\frac{R_{2}}{R_{1}}

Mediante estas ecuaciones se calculan los componentes necesarios para montar el filtro. Mi recomendación es empezar fijando un valor de a, entonces queda obligatoriamente una ganancia K fija (para Butterworth es 1.58). Entonces se calculan las resistencias R_{1} y R_{2} dando un valor común a una de ellas (que no sea menor que un kΩ ni mayor que unos pocos MΩ a ser posible). Una vez resuelto este tema se hace lo mismo con R y C, dando un valor a C, que es el rango más restringido, nunca mayor a un par de μF.

El paso siguiente es simple:

Sallen-Key paso alto

sallenpa

 

\displaystyle \omega_{0} = \frac{1}{RC}       \displaystyle a = \frac{3-K}{2}        \displaystyle K = 1+\frac{R_{2}}{R_{1}}

Solo se le ha dado la vuelta a los componentes, y los cálculos se hacen de la misma forma.

Voy a dejar en un PDF un desarrollo del análisis que hice paso por paso.

Hay otra estructura típica:

MFB paso bajo

mfbpb

En éste caso la función de transferencia es mucho más compleja:

\displaystyle K = -\frac{R_{4}}{R_{1}}       \displaystyle \omega_{0} = \frac{1}{\sqrt{R_{3}R_{4}C_{2}C_{5}}}       \displaystyle a = \frac{1}{2} R_{3}R_{4}C_{5}\frac{\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{3}}+\frac{1}{R_{4}}}{\sqrt{R_{3}R_{4}C_{2}C_{5}}}

Pero si ponemos todas las resistencias iguales, K se hace -1 y el resto:

\displaystyle a = \frac{3}{2} \sqrt{\frac{C_{2}}{C_{5}}}      \displaystyle \omega_{0} = \frac{1}{R\sqrt{C_{2}C_{5}}}

Lo cual es mucho más simple, puede ser mejor para diseñarlo.

MFB paso alto

mfbpa

\displaystyle K = -\frac{C_{1}}{C_{4}}       \displaystyle \omega_{0} = \frac{1}{\sqrt{R_{2}R_{5}C_{3}C_{4}}}       \displaystyle a = \frac{1}{2} \cdot \frac{R_{2}(C_{1}+C_{3}+C{4})}{\sqrt{R_{2}R_{5}C_{3}C_{4}}}

Y volvemos a simplificar, pero ahora se hacen todos los condensadores iguales:

\displaystyle K = -1        \displaystyle \omega_{0} = \frac{1}{C \sqrt{R_{2}R_{5}}}       \displaystyle a = \frac{3}{2} \cdot \sqrt{ \frac{R_{2}}{R_{5}}}

Filtros de orden superior

Si queremos un filtro de orden mayor que 2, simplemente tenemos que hacer una combinación de los circuitos que hemos visto antes. Por ejemplo, si queremos un filtro de tercer orden (pendiente +-60 dB/déc) combinaremos en serie un filtro de orden 1 con un filtro de orden 2.

El problema es que aquí el factor de amortiguamiento cambia, y "a" deja de ser 0.7072 para un tipo Butterworth. Para saber qué factor tenemos que poner a cada uno de los filtros puestos en serie, se toma una tabla:

tablafactor

Pero en ésta tabla, ojo, lo que se muestra es 2a. Aquí vemos la combinación de filtros que tenemos que hacer para cualquier orden y calcular "a", simplemente dividiendo por dos el número que multiplica a "s".

Filtros de respuesta resonante

Son unos filtros cuya única función es dejar pasar, o eliminar, una frecuencia central seleccionada y atenuar las demás. Su respuesta en frecuencia puede verse así:

resonante

Se define como el ancho de banda (BW) el espacio de frecuencias alrededor de la frecuencia central cuya ganancia ha caído en 3 dB. Con el ancho de banda, podemos determinar el factor de calidad Q, y viceversa.

MFB pasabanda

mf

\displaystyle K = -\frac{R_{5}}{2R_{1}}       \displaystyle \omega_{0} = \frac{1}{C \sqrt{R \cdot R_{5}}}       \displaystyle Q = \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{R_{5}}{R}}

Filtro parabanda

Es un circuito extraño con 2 amplificadores operacionales y cuya Q depende de la posición "a" de un potenciómetro:

parabanda

\displaystyle \omega_{0} = \frac{1}{RC}       \displaystyle Q = \frac{1}{4(1-a)}

Software para el diseño

Si queréis diseñar un filtro complejo, lo mejor es descargarse el Filter Pro de Texas Instruments (gratuito) y usarlo, además es bastante simple y creo que admite hasta el diseño de un orden 20.

Entre otras ventajas, puedes seleccionar valores de resistencias y condensadores normalizados y ver su diagrama de Bode y cómo cambia, además de más tipos aparte de Butterworth con distintos factores de amortiguamiento.

Es necesario tener cuenta en TI (gratis)

Download FilterPro v3.1

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