Técnicas de control 1: discretización de proceso

Repitamos todos juntos otra vez: en el mundo real las cosas ocurren de forma analógica. En el anterior tema dije que se puede implementar un regulador puramente analógico, sí. Pero éso no es lo que nos interesa, porque además de complejo, es de lo más inestable.

Para controlar nuestros procesos, lo que usamos es un sistema digital. Dicho sistema se divide en tres pasos: muestrear, procesar y enviar. El muestreo normalmente se realiza después de la realimentación, donde todavía tenemos una señal analógica. El ordenador se encarga de procesar las diferencias entre referencia y estado actual (error) y, según la función de transferencia que le hayamos metido, nos crea una salida, no analógica puramente, porque tiene pequeños escalones, pero sí ajustada a lo que el sistema necesita para comportarse de tal manera.

Algo muy importante para el muestreo de una señal  es el tiempo de muestreo, ya que si tomamos una frecuencia indebida, ocurre el efecto aliasing: las muestras tomadas en distintos puntos de una señal crean otra completamente distinta y errónea que el ordenador se cree y nos estropea el sistema.

Aliasing - Wikipedia

Un tiempo de muestreo adecuado está entre 5 y 20 veces menor que el periodo del sistema. Como nuestros sistemas no tienen periodo porque no solemos buscar la oscilación, pondremos el tiempo de establecimiento.

Entre 5 y 20, ¿cuál elijo? Ésa es una pregunta con respuesta abierta: lo que te parezca adecuado. Teniendo en cuenta que la diferencia entre extremos es más o menos así (con un zero order hold):

muestreo

¿Zero order hold?¿Y 'ezo qué é'? Es uno de los dos métodos que existen para el muestreo y transformación (a mano si quieres) de la señal de un sistema. Hay dos:

  • Zero order hold: por escalones
  • First order hold: mantenimiento de la pendiente, triangular

La respuesta con first order hold suele ser de mayor calidad (aunque más compleja):

foh

¿Y ésto para qué? Los valores que obtenemos se guardan en una secuencia de números, que podemos predecir. Dicha secuencia de números puede ser infinita, así que, para no tener que escribirla, creamos lo que se llama una ecuación en diferencias. Dicha ecuación lleva dentro de sí la secuencia, sólo hay que sustituir las variables por las indicadas. Dichas variables pueden ser Uk, dato actual, Uk-1, dato anterior, Uk+1, dato siguiente...

Hay secuencias típicas como por ejemplo un impulso {1,0,0,0,0,...} o un escalón con retardo {0,0,1,1,1,1,1,1,1,...}

También tenemos secuencias famosas como la de Fibonacci {1,1,2,3,5,8,13,21}, cuya ecuación en diferencias sería Uk=U(k-1)+U(k-2). Para que os hagáis una idea.

Ésta ecuación la podemos llevar a una transformada Z, y ésta a su vez, a una transformada de Laplace, así que todo está relacionado. A partir de una función de transferencia en el dominio de Laplace podremos hacer la transformada z, sacar la ecuación en diferencias, y saber qué secuencia de números describe con el tiempo (que ahora va a ser un número de muestra).

Como para todas las transformadas, tenemos unas tablas:

transz

transz2

Discretizar un proceso

Ya sabemos los métodos y tenemos las tablas: ¿Cómo se hace?, pongamos un ejemplo, discretizar el siguiente proceso con un tiempo de muestreo T = 0.1 segundos.

discre

discre2

¿Cómo pasamos de ésto a una ecuación en diferencias? Sabemos que Gp es una función de transferencia que es salida/entrada, entonces (y usando las matemáticas a nuestro favor):

discre3

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