Automática 3: más reguladores

Hasta ahora hemos visto que todo es muy bonito, que el punto de diseño que queríamos nos ha coincidido con el lugar de las raíces y que con ésto hemos sacado un regulador P, que es suficiente para darnos por satisfechos.

Sin embargo, ¿qué ocurre cuando no coincide el lugar de las raíces? Forzamos a cambiar al LDR hasta que pasa por el punto que queremos, añadiendo un derivador (cero). Qué mejor manera de saber en qué punto poner el cero que con el criterio del argumento.

Regulador PD

Pongamos por ejemplo el último sistema que hemos tomado, su lugar de las raíces va a ser el que sigue y queremos que el tiempo sea menor a 1 segundo y su sobreoscilación menor al 5%.

bien

En ningún momento pasa el LDR por la zona válida de especificaciones (la blanca). Calculamos un punto de diseño que va a ser s = -4+4i (en realidad es +4.19i pero podemos aproximar con total tranquilidad de conciencia, ya que al añadir un cero aumentaremos la sobreoscilación).

A continuación, vamos a ver dónde colocar el cero, calculamos los ángulos con los polos que tenemos: a1=104.0362º, a2=126.8698º.

Hacemos la suma y resta: 104.0362 + 126.8698 - z = 180. Despejamos z y obtenemos: az = 50.906º. De la misma forma que hemos calculado el ángulo de los polos dada su posición, calculamos la posición del cero: tg(angulo) = 4/dz -> dz=3.25 (distancia al punto, se le suma la parte real del punto para saber la distancia al 0 del plano) -> dz=7.25. Colocamos el cero y cambia el LDR:

cero2

Ahora calculamos, mediante el criterio del módulo, la ganancia del regulador, que es aproximadamente 29.

Expresamos el cero del derivador como un tiempo de derivación: Td = 1/z = 1/7.25 = 0.138

Y expresamos la función de transferencia del regulador: Gr = 29*(1+0.138*z).

La respuesta que obtenemos con éste regulador es:

cero3

Como ya estaba predicho, la sobreoscilación es mayor a la que habíamos pensado porque hemos incluido un cero.

Otra de las cosas que nos preocupan de éste sistema es que, como se ve en la figura, se establece en 0.9. Ésto es el error de posición, que como ya expliqué anteriormente, se soluciona con un integrador, a riesgo de inestabilizar el sistema.

Regulador PI-PID

En caso de no necesitar cambiar el LDR pero sí hacer el error de posición 0, usaríamos un regulador PI, nos olvidamos de poner un derivador. En éste caso, hemos necesitado un PID para cambiar el LDR. Simplemente, una vez puesto el cero del derivador en su sitio, incluimos un polo en el punto 0.

inte

Como era de esperar, un integrador "tal cual" nos ha inestabilizado el sistema. Para volver a estabilizarlo, añadimos otro cero, que llamamos cero del integrador, cuya posición es parte real del punto de diseño dividido por 10:

inte2

El programa considera que la pareja polo-cero del integrador afectan al LDR y a la ganancia y cambia. Por lo general nos podemos quedar con la que nos da nada más calcular el derivador, ya que la pareja está "muy próxima" entre sí. Sin embargo, también se puede calcular la nueva ganancia, que daría aproximadamente 12.5. Entonces, expresamos el integrador como un tiempo de integración que es Ti = 1/zi = 1/0.4 = 2.5. Expresamos el regulador completo como:

Gr = 12.5*(1+0.138*s)*(1+1/(2.5*s))

Su respuesta en éste caso ha mejorado mucho en sobreoscilación, pero el tiempo de establecimiento se ha hecho mucho mayor, saliéndose de las especificaciones:

inte3

Para arreglar el "estropicio", lo que haremos será un "ajuste fino" (vamos a ir probando) hasta obtener una relación de sobreoscilación-tiempo de establecimiento que nos convenza (más bien al comprador).

¿Cómo implemento un PID?

"Antiguamente" (hace 2 días porque ésto ha evolucionado mucho), se usaban métodos analógicos para hacer un regulador. Con métodos analógicos me refiero a un circuito (caso regulador electrónico) con amplificadores operacionales que hacen de amplificador (ganancia), integrador y derivador.

Hoy en día, usamos ordenadores con mucha capacidad que muestrean las señales y hacen salir otra de acuerdo a los parámetros que nosotros le configuremos. Además, hay varias formas de expresar éstos parámetros: la forma de cálculo, que es la que he puesto anteriormente, y la forma comercial, que se calcula mediante ésta tabla:

tabla

En industria se usan aparatos caros como éste:

Y ésto es todo lo básico de lo básico de automática de 2º. Ya sabemos diseñar un regulador, ahora queremos saber cómo implementarlo en un ordenador y que sea funcional y eficiente: lo llaman técnicas de control.

Cosas "chulas" que podemos llegar a hacer con un PID: control de posición de un helicóptero.

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