Automática 1: Entrada y respuesta

Ya introduje que dada una entrada, a la salida del sistema obtendremos una respuesta que se puede predecir con la función de transferencia.

Entradas típicas

Cada tipo de entrada de las que se vio en la tabla induce al sistema a responder de una manera distinta, ahora veréis la forma que tienen las entradas impulso, escalón y rampa:

ent

En ésta gráfica sólo se observan el escalón y la rampa. El impulso no se ve por algo lógico: sólo dura un diferencial de tiempo, un espacio tan corto que no se molesta en dibujarlo, pero os aseguro que está ahí y llega hasta 1. Lo mismo ocurre con la subida del escalón, ya que ésta se hace en forma de impulso.

Pongamos ahora que nuestro sistema tiene ésta fdt:

fdt5Las respuestas con éstos tres tipos de entrada son distintas:

respuesta

Como veis, cada respuesta sigue a su referencia. El impulso actúa un momento y vuelve a 0, por lo que siempre va a alcanzarse. El escalón no, y la rampa tampoco, debido a que tienen una ganancia estática y un error que veremos más adelante.

¿Qué es la ganancia estática? Ésto:

estatica

Por ejemplo, como tenemos la función de transferencia, si ponemos 0 donde hay s, se queda una Kest=1/3=0.3333

Y si os fijáis, 0.3333 (1 que vale el escalón por Kest) es donde se para la gráfica. Si ahora pongo escalones de distintos tamaños (1, 10 y 20):respuesta2La respuesta termina exactamente en 1/3, 10/3 y 20/3.

Otra característica importante: ¿cuándo alcanza ésta referencia? Se suele usar la aproximación:

tiempo

¿Veis que no cuadra la función de transferencia del tiempo que he dado con la del ejemplo? Éso es porque estamos usando una fdt de segundo o mayor grado, en éste caso sobreamortiguada, ya que no oscila. Sin embargo, si utilizásemos una  función tal como G=1/(4s+1) veríamos que ésta deja de ascender aproximadamente en 1 segundo.

Otro tipo de funciones de segundo grado son las subamortiguadas, supongamos que tenemos un proceso con una función de transferencia que está a continuación, una ganancia de 10 y un sensor de ganancia 1:

proceso

Calculamos la función de transferencia en bucle cerrado tal como decíamos arriba:

transfer

Si aplicamos un step (escalón) a ésto:

sobre

Que sea sobreamortiguado o subamortiguado se debe a los parámetros de la función coeficiente de amortiguamiento y pulsación natural.

¿Qué nos interesa medir aquí? Vamos a introducir los mapas de polos. ¿Qué es un polo? Si escribimos la función en bucle abierto, vemos que en la parte de debajo queda una ecuación que se puede simplificar y extraer sus raíces, que en éste caso son s=-0.8455 +- 1.7316i y s=-4.3089. Podemos dibujar éstos puntos en un plano real-imaginario:

pzmap

A los polos más cercanos (que son los imaginarios en éste caso), los llamamos los polos dominantes. Son los que mandan. Además, cuanto más cerca del 0, más lenta es la respuesta. Si  los polos dominantes están en el eje negativo, la respuesta es estable. Si por casualidad se encuentran sobre el 0, la respuesta es oscilatoria (no va a seguir la referencia jamás, va a ir y venir, como una onda senoidal). Por último, si cualquier polo se encuentra en el eje positivo, la respuesta es inestable.

¿De qué nos sirve saber el polo dominante? Pues para saber por ejemplo:

  • tiempo de establecimiento: 4/[Parte real] = 4.73 s en el ejemplo
  • sobreoscilación: cuando tiene un pico al principio, se pasa del valor final, a la diferencia entre el valor máximo de dicho pico y el valor estable (no el de referencia) la llamamos sobreoscilación, y se suele expresar en porcentaje:

parte

Sería aproximadamente un 21.56%

  • tiempo de pico: en qué momento se produce el pico que hemos mencionado antes: tp = pi/[parte imaginaria], en éste caso 1.81 s.
  • error: se puede observar que dada una referencia de 1, ha acabado entre 0.6 y 0.7, dicho error se puede calcular mediante ésta tabla:

error

¿Qué significa el tipo de sistema? Es la cantidad de integradores que tiene. Un integrador se añade en el regulador, pero suele hacer el sistema inestable. Se expresa como 1/s. Es decir, es tipo es el número de raíces s=0 que tiene el denominador bucle abierto. En éste caso, ninguno, por lo que el error es de 0.375. Si teníamos una referencia de 1-0.375 = 0.625 que coincide con el punto en el que entra en régimen permanente.

Puedo comprobar ésto gráficamente, aunque los resultados que da el software son mucho más precisos y siguen otros métodos:

valores

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